On the perturbation of the electromagnetic energy due to the presence of inhomogeneities with small diameters

We consider solutions to the time-harmonic Maxwell problem in R. For such solution we provide a rigorous derivation of the asymptotic expansions in the practically interesting situation, where a finite number of inhomogeneities of small diameter are imbedded in the entire space. Then, we describe the behavior of the electromagnetic energy caused by the presence of these inhomogeneities. Sur la perturbation de l’énergie électromagnétique due à la présence des inhomogénéités de petits diamètres Résumé Nous considérons des solutions du problème harmonique de Maxwell dans R. pour une telle solution nous obtenons des formules asymptotiques rigoureuses qui sont dues à la présence d’un nombre fini d’inhomogénéités avec petit diamètre dans l’espace entier. Puis, nous décrivons le comportement de l’énergie électromagnétique provoqué par la présence de ces inhomogénéités. Version française abrégée Dans cette Note, on suppose que dans R on a m inhomogénéités {zj + αBj}j=1, où α est un petit paramètre, Bj ⊂ R est un ouvert borné et les points {zj}j=1 vérifient l’hypothèse (1). Soient la perméabilité magnétique μα et la permittivité électrique εα de forme (2). L’objectif du travail décrit dans cette Note est de voir comment les solutions perturbées du probleme (3) se comportent quand un nombre fini d’inhomogénéités {zj + αBj} de petits diamètres sont introduites dans l’espace entier R. Ceci nous amène, également, à étudier l’évolution de l’énergie électromagnétique correspondante selon cette déformation du milieu de propagation. Nous commenons notre analyse dans la section 2 en dérivant rigoureusement les développements asymptotiques des champs électrique et magnétique ce qui sont uniformément validés dans l’espace. Ces formules asymptotiques sont construites par la méthode de développements asymptotiques assorties. Concernant cette méthode, le lecteur peut consulter [8, 11]. En domaine borné, on peut voir aussi les travaux [1, 3, 4, 5]. Le terme d’ordre principale, dans des déveoppements asymptotiques analogues (mais pour le cas d’un domaine borné), a été dérivé par Vogelius et Volkov [15] et Ammari et al. [6]. Nos formules asymptotiques utilisent des tenseurs de polarisation associés à des inhomogénéités électromagnétiques qui semblent être des généralisations normales des tenseurs qui ont été présentés par Schiffer et Szegö [14] et complètement étudié par beaucoup d’autres auteurs [2, 7, 9, 12]. Le plan de cette Note est comme suit: Dans la section 1, Nous formulons le problème principale dans ce travail. Dans la section 2, supposant que les champs électromagnétiques (Eǫ,Hǫ) sont dans des espaces de Sobolev convenables, nous obtenons à travers la formule de représentation intégrale de Lippman-Schwinger